畢達哥拉斯

畢達哥拉斯（Pythagoras）

[生平簡介]
 畢達哥拉斯是古希臘哲學家、數學家、天文學家，約公元前580─前500，生於希臘東部薩摩斯(今希臘東部小島)，卒於他林敦(今義大利南部塔蘭托)。由於他「萬物皆數」的信念，為希臘數學的昌盛奠下基本的思想質素。畢達哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費雷西底(Pherecydes)學習，又曾師事 伊奧尼亞學派的安約西曼德(Anaximander)，以後遊歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來的天文、數學知識。他最後定居在克羅托內 (Crotone)，在那裏建立一個宗教、政治、學術合一的團體──畢達哥拉斯學派，它是繼伊奧尼亞學派後古希臘第二個重要的學派。



這個團體後來在政治鬥爭中遭到破壞，他逃到塔蘭托，後終於被殺害。畢氏學派有一個教規，就是一切發現都歸功於學派的領袖，且對外保密，故討論其學術成就時，很難將畢達哥拉斯本人和他的學派分開。

畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授課的學者進步一點；因為他容許婦女(當然是貴族婦女而不是奴隸女婢)來聽課。他認為婦女也是和男人一樣在求知的權利上平等，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所無的現象。

傳說他是一個非常優秀的教師，他認為每一個都該懂些幾何。有一次他看到一個勤勉的窮人，他想教他學習幾何，因此對此人建議：如果這人能學懂一個定理，那麼他就給他一塊錢幣。這個人看在錢的份上就和他學幾何了，可是過了一個時期，這學生對幾何卻產生了非常大的興趣，反而要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師多教一個定理，他就給一個錢幣。不需要多少時間，畢達哥拉斯把他以前給那學生的錢全部收回了。

對畢達歌拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致他一個學生被處死。這位學生名叫希帕索斯，出於無聊，他試圖找出根號2的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物，無理數的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經洞察力獲致的成果一定經過了一段時間的討論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數源。然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇，只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來，歐幾里德以反證法證明根號2就是無理數。

畢達哥拉斯是死在意大利科多拿城裡，在一場城市暴動中，他被人暗殺掉。他的墳墓現仍在意大利的這個古山城中，這墳墓就像中國的饅頭式墳。二千多年過去了，這墳還保留下來，可見人們對這學者的重視。

畢氏學派教條：
1.禁食豆子2.東西落下了，不要揀起來3.不要去碰白公雞4.不要擘開面包
5.不要邁過門閂 6.不要用鐵撥火7.不要吃整個的面包 8.不要招花環
9.不要坐在鬥上10.不要吃心 11.不要在大路上行走12.房裏不許有燕子
13.鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。
14.不要在光亮的旁邊照鏡子。
15.當你脫下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平。

畢氏定理的起源來自地磚的靈感

紀念郵票
畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和“數”之間的關係，於是他拿了畫筆並且蹲在地板上，以它的對角線AB為邊畫一個正方形，他遇然地發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。
他很好奇，於是再以１×２的矩形之對角線作另一個正方形，發現這個正方形之面積等於５塊磁磚，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師視線都一直沒有離開地面。

形成定理
畢達哥拉斯最後對此定理作了一般性的證明，內容是：「直角三角形的兩股平方和等於斜邊的平方。」後人就以畢達哥拉斯的名字命名，在歷史上，中國人及巴比倫人是比畢達哥拉斯更早瞭解此定理，但當時少有文獻證明他們能夠「證明」此定理。而依據統計，歷史記載證明畢達哥拉斯定理的方法有四百多種，其 中大部分的證法是用面積的方法。

在中國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高答周公問中有「勾廣三，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條 直角邊是3及4則斜邊是5。在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱"勾"， 下半部分稱"股"。以後人們就簡單地把這個事實說成"勾三股四弦五"

書中還記載了陳子答榮方問︰「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾

股各自乘，並而開方除之，得邪至日」，古漢語中邪作斜解，因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽，在他的數學文獻《勾股圓方圖》中，運用弦圖，巧妙的證明了勾股定理，他寫道︰「按弦圖 ，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若分別用現在的符號a、b、c記勾、股、弦之長，趙爽所述即如圖。


畢氏定理證法

劉徽的《青朱出入圖》證法

    劉徽在證明勾股定理時是用的以形證數的方法，劉徽的證明原也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」後人根據這段文字補了一張圖：
    只要把圖中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形(c2)。由此便可證得a2+b2=c2
「形數統一」是中國傳統數學的一個基本思想方法，它與西方以歐幾里德為代表的幾何學獨立於數量關係而單純研究空間形式的風格完全不同．然而，「形數統一」的思想方法又是數學發展的一個很重要的條件，正如當代中國數學家吳文俊所說：「在中國的傳統數學中，數量關係與空間形式往往是形影不離並肩地發展著的，……十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。」


美國總統Garfield的證明

如圖：梯形ABCD面積 

      此為1876年美國總統Garfield的證明



相似三角形邊長比例證明
如圖，直角  ，過A作垂線  交  於D
因為 

兩式相加，得 




內切圓證法
托勒密定理敘述：

又由面積和知內切圓半徑 









利用圓冪定理證明
由圓冪定理知







利用圓內基本定理證明






利用切割線段性質證明







義大利文藝復興時代達文西的證明
由邊長關係可知
四邊形ACPN面積 = 四邊形AGEB面積
四邊形BCPM面積 = 四邊形DEGF面積
兩式相加，各減去相同的部分 
及  ，可得
ABMN面積 = ACFG面積 + BCDE面積
即 


參考資料

1.    畢氏定理知識網〈http://210.240.106.21/~jyt/geoclass/pythogorius/index.htm〉

2.    勾股之玄──勾股定理知識網〈http://www.fshyxx.com/kezu/shuxue/gougu/index.html〉

3.    數學家的故事─畢達哥拉斯〈http://203.72.67.2/course/cmat/story/%E7%95%A2%E9%81%94%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF.htm〉

4.    畢達哥拉斯_百度百科〈http://baike.baidu.com/view/16578.htm〉

5.    畢達哥拉斯學派_百度百科〈http://baike.baidu.com/view/85509.htm〉

6.    西方哲學史 ──第三章畢達哥拉斯
〈http://www.ebaomonthly.com/window/liter/philwest/philw_03.htm〉